Tesi doctoral d' Oriol Castejón Company

Director de tesi: BALDOMA BARRACA, INMACULADA CONCEPCION | GUILLAMON GRABOLOSA, ANTONI | MARTINEZ-SEARA ALONSO, MARIA TERESA

Resum de tesi: El principal objecte d'estudi d'aquesta tesi són les varietats invariants en el camp dels sistemes dinàmics. Considerem dos temes diferents i independents, concretament l'estudi de l'escissió exponencialment petita de varietats invariants en desplegaments analí­tics de la singularitat Hopf-zero (a la Part I), i les aplicacions dels sistemes dinàmics en problemes inspirats per la neurociència (a la Part II). A la Part I, considerem una classe de desplegaments genèrics de l'anomenada singularitat Hopf-zero. Es pot veure que el truncament de la forma normal a qualsevol ordre finit d'aquests desplegaments té dos punts crítics de tipus sella-focus i, quan els paràmetres estan sobre una certa corba, estan connectats per dues varietats heteroclí­niques, una d'unidimensional i una de bidimensional. No obstant, si es considera tot el camp vectorial, s'espera que aquestes connexions heteroclí­niques desapareguin. Això pot causar el naixement d'una òrbita homoclí­nica en un dels dos punts crí­tics, produint així­ el que es coneix com una bifurcació de Shilnikov. En el cas de desplegaments $C^\infty$, això va ser provat per Broer i Vegter durant els anys 80, però el cas de desplegaments analí­tics ha quedat obert. Recentment, sota certes hipòtesis sobre la mida de l'escissió de les connexions heteroclí­niques, Dumortier, Ibáñez, Kokubu i Simó han provat l'existència de bifurcacions de Shilnikov en el cas analític. El nostre estudi consisteix en el càlcul del trencament de les connexions heteroclí­niques. Aquests trencaments no es poden detectar en la forma normal a cap ordre i, per tant, són exponencialment petits en un dels paràmetres de pertorbació. Donem fórmules asimptòtiques d'aquests trencaments i, en particular, provem que sota certes condicions genèriques les principals hipòtesis fetes per Dumortier, Ibàñez, Kokubu i Simó són vàlides. A la Part II, considerem eines per proporcionar una predicció acurada de la variació de fase en un oscil·lador subjecte a estímuls externs. Construïm un mètode basat en els conceptes d'isòcrones, Funcions de Resposta de Fase (PRF, per les seves inicials en anglès) i Funcions de Resposta d'Amplitud (ARF). En particular, el mètode es pot aplicar a neurones en un estat de dispar repetitiu. En el cas especial d'un tren de pulsos periòdic, l'aplicació d'aquest mètode teòric dóna lloc a una aplicació 2D, on una variable controla els canvis de la fase i l'altra els canvis en l'amplitud. Comparem aquestes aplicacions amb les aplicacions 1D clàssiques obtingudes a través de la Corbes de Resposta de Fase (PRC) i identifiquem circumstàncies en què les aplicacions 2D donen una millora substancial de la predicció de sincronització. A més, implementem alguns mètodes numèrics per calcular les corbes invariants de les aplicacions 2D així­ com la dinàmica dins aquestes corbes. Finalment, calculem les llengües d'Arnold corresponents a aquestes aplicacions, que permeten determinar regions en l'espai de paràmetres per a les quals la neurona es sincronitza amb l'estí­mul extern.