Tesi doctoral d'Adrià Simon López

Director de tesi: DELSHAMS I VALDES, AMADEU

Resum de tesi: En l'article [CKSTT] els autors proven una inestabilitat global per a l'equació de Schrödinger cúbica desenfocant en el tor 2-dimensional. Per aconseguir-ho, detecten un sistema finit d'equacions diferencials ordinàries, l'anomenat Toy Model System, per al quan proven un resultat que típicament s'anomena de difusió: la connexió de N objectes invariants connectats entre ells mitjançant òrbites heteroclíniques. El que no esmenten és que la intersecció entre les varietats invariants de dos objectes consecutius no és transversal. Això fa descartar, pràcticament, que el mecanisme de difusió sigui regit per la coneguda difusió d'Arnold i, per tant, no hi ha una explicació geomètrica del motiu pel qual aquests objectes invariants poden ser connectats. L'objectiu principal de la tesi és proposar un mecanisme geomètric que justifiqui el fet que aquesta difusió és possible. En el Capítol 2 evidenciem que la intersecció entre les esmentades varietats no és transversal en el Toy Model System i mostrem, mitjançant exemples, que aquesta falta de transversalitat pot impedir la connexió en una cadena de transició. Un cop vist que la connexió pot no ser possible si la intersecció no és transversal, detectem el motiu per al qual sí que és possible en el cas del Toy Model System. La raó és l'alta dimensió del problema i que cada nova connexió pren lloc en un espai nou, en unes direccions que encara no s'han utilitzat. D'altra banda es troben exemples integrables per als quals aquesta difusió és possible, allunyant-nos del tot de la difusió d'Arnold, típica per a sistemes no integrables. En el mateix capítol es proposa un esquema de detecció per aquest tipus de difusió mitjançant el llenguatge dels h-sets i les relacions de cobriment, de manera que s'estableix una prova que justifica la connexió sempre i quan es provin abans certes relacions de cobriment. Mitjançant aquest esquema de detecció, en el Capítol 3 es prova la connexió en el cas del Toy Model System. Durant la prova, aconseguim millorar el Teorema original de difusió de [CKSTT] permetent apropar-nos arbitràriament a la cadena d'heteroclíniques i, en particular, als objectes invariants. De la prova, també en destaquem l'ús de tècniques típiques dels Sistemes Dinàmics que permeten entendre millor l'esquema de connexió, respecte la prova original. [CKSTT]: J. Colliander, M. Keel, G. Staffilani, H. Takaoka, and T. Tao. Transfer of energy to high frequencies in the cubic defocusing nonlinear Schrödinger equation. Invent. Math., 181(1):39-113, 2010.