Skip to content

Tesi doctoral d' Anna Tamarit Sariol

SINGULAR PHENOMENA IN THE LENGTH SPECTRUM OF ANALYTIC CONVEX CURVES

When
Jul 06, 2015 (Europe/Madrid / UTC200)
Where
Facultat de Matemàtiques i Estadística (UPC)
Web
Visit external website
Add event to calendar
iCal

Director de tesi: RAMIREZ ROS, RAFAEL | MARTIN DE LA TORRE, PABLO


Resum de tesi: Considereu l'aplicació billard definida dins d'una corba tancada, analítica i estrictament convexa Q. Per q>2 i 0<p<q coprimers, existeixen almenys dues trajectòries (p,q)-periòdiques dins de Q. L'objectiu de la tesi és estudiar la diferència maximal entre longituds de trajectòries (p,q)-periòdiques del billar, D(p,q). La quantitat D(p,q) aporta informació dinàmica i geomètrica. Primer, caracteriza part de l'espectre de longituds de Q i per tant té relació amb la pregunta de Kac, "Can one hear the shape of a drum?''. Segon, D(p,q) es una fita superior de la DW(p/q) de Mather i quantifica el caos de la taula Q. Primer, ens fixem en l'estudi de la diferència maximal de longituds entre òrbites (1,q)-periòdiques. Aquestes òrbites s'apropen a la frontera del billar a mesura que q tendeix a infinit. L'estudi de D(1,q) es realitza des de dues perspectives. D'una banda, obtenim una fita superior exponencialment petita en el periode q per D(1,q). El resultat s'obté en el marc general de la diferència maximal de (p,q)-periòdiques accions entre òrbites (p,q)-periòdiques en aplicacions twist exactes i analítiques. En particular, establim una fita superior exponencialment petita per les diferències entre accions (p,q)-periòdiques quan l'aplicació és analítica en una corba invariant rotacional i (m,n)-resonant i p/q està "prou a prop'' de m/n. L'exponent en la fita superior està estretament lligat a la banda d'analiticitat en una variable angular concreta. El resultat s'obté en dos passos. Primer, provem un teorema tipus Neishtadt. Segon, apliquem el principi d'acció de MacKay-Meiss-Percival. Aquest resultat implica que les longituds de totes les trajectòries (1,q)-periodiques en dominis estrictament convexos i analítics són exponencialment properes en el periode q, fet que millora el resultat clàssic de Marvizi and Melrose sobre el cas regular. Però el resultat també pot aplicar-se en altres contextos de les aplicacions billar i billar dual. Per exemple, mostrem que les àrees de les trajectòries (1,q)-periòdiques del billar dual són exponencialment properes en el període q. Aquest resultat millora un resultat clàssic de Tabachnikov pel cas regular. De l'altra, analitzem formules asimptòtiques exponencialment petites per D(1,q) quan Q is una corba analítica, estrictament convexa i genèricament axisimètrica. En aquest context, conjecturem que les diferències es comporten asimptòticament com un factor q^(-3)*exp(-rq) per una funció constant o bé una funció periòdica. A més, l'exponent r és la meitat del radi de convergència de la transformada de Borel de la coneguda sèrie asimptòtica per les longituds de les trajectòries (1,q)-periòdiques. La conjecture es recolza fortament en els resultats numèrics obtinguts. Els càlculs necessiten aritmètica de precisió múltiple i són fets en PARI/GP. Els experiments es restringeixen a perturbacions d'el¿lipses i cercles, que permeten comparar els resultat numèrics amb unes prediccions de Melnikov i detectar comportament no genèrics a causa de la presència de més simetries en alguns casos. Les fórmules asimptòtiques obtingues s'assemblen a les obtingudes en l'escissió de separatrius en moltes aplicacions analítiques, on el tamany de l'escissió és d'ordre h^(-m)*exp(-r/h). En aquests casos, el paràmetre h>0 és petit i contínu i les fórmules són exponencialment petites en 1/h. S'ha demostrat (o està recolzat fortament per experiments numèriques) que l'exponent r és 2Pi vegades la distància a l'eix real del conjunt de singularitats complexes de la solució homoclínica del flux d'un Hamiltonià límit. Proposem i estudiem un equivalent a problema límit per l'aplicació billar. A continuació, comentem com es comporta D(p,q) per òrbites (p,q)-periòdiques que tendeixen a regions de l'espai de fases diferents de la frontera de Q. En concret, considerem els casos de p/q tendint a un nombre irracional o a P/Q. L'estudi de D(p,q) en aquests casos es basa en un estudi numèric dels fenòmens.